O Adriano Santos liberou um novo componente para ajudar no momento de requerer permissões para o seu aplicativo Android, o componente facilita muito, veja abaixo como é simples.

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
begin
  MobilePermissions1.Dangerous.CAMERA := True;
  MobilePermissions1.Standard.AccessNetworkState := True;
  MobilePermissions1.Apply;
end;

Executando este código acima, ele já chamara no Android as requisições para permissões de uso, mostrando quando necessário a tela de iteração com o usuário para confirmar, muito, muito simples.

Segue link para baixar: https://github.com/adrianosantostreina/MobilePermissions